Heisenberg型群是一类极为有意义的二阶幂零李群，备受众多学者的关注([3][4][6][22]等等)。本文研究了经典的Heisenberg型群——四元Heisenberg群和Cayley Heisenberg群上的热核及其应用问题。许多李群上的几何和分析问题依赖于该李群的热核的具体表达式。因此求出李群上热核的具体表达式并运用它研究相关问题极为有意义。Hulanicki和Gaveau在二十世纪七十年代已成功地求出了Heisenberg群的热核的具体表达式([21][17])。随后人们运用它研究了Heisenberg群上许多具有重要意义的问题([9][16][20][22][34]等等)。虽然人们也求出了二阶自由幂零李群甚至任意二阶幂零李群([17][11])的热核，但是其表达式不象Heisenberg群的公式那样具体。直到去年，朱赋鎏教授求出了四元Heisenberg群热核的具体表达式([40])。 首先我们利用文献[40]给出的四元Heisenberg群的热核的具体表达公式，对四元Heisenberg群的热核和某些Δ-μ-调和函数进行某些渐近估计。然后运用热核和Δ-μ-调和函数的渐近估计研究四元Heisenberg群的Martin紧化问题，证明了四元Heisenberg群的Martin边界同胚于四元可除代数H中的单位球，最小Martin边界同胚于单位球面S~3。因为四元可除代数H不具有交换性，比复数域C的结构要复杂得多。构造Heisenberg群的Martin紧化只需用到S~1上的主圆丛，而本文构造四元Heisenberg群上的Martin边界则需用单位球面S~3取代单位圆S~1，而S~3上的主圆丛上的每个纤维是不可交换的。由于四元Heisenberg群的中心的维数较高，构造四元Heisenberg群的Martin紧化的难度远远大于Heisenberg群的Martin紧化。 然后我们研究了Cayley Heisenberg群，使用Gaveau的随机积分的方法，获得了Cayley Heisenberg群的热核的具体表达式，公式形式与Heisenberg群和四元Heisenberg群的热核公式形式一致。由于Cayley(八元)可除代数O比四元可除代数H复杂，CayleyHeisenberg群的结构比Heisenberg群和四元Heisenberg群的结构复杂得多，因而导出热核具体公式的过程困难得多，涉及的积分维数高，并且矩阵运算过程中借助了计算机Matleb软件的符号运算。因此对所得的热核公式的正确性进行了验证，验证过程则不依赖于计算机。迄今为止，除了Heisenberg群和四元Heisenberg群外，CayleyHeisenberg群CH~n是唯一获得的热核其体表达式的一类二阶幂零李群。 最后研究了Cayley Heisenberg群上相关的应用问题。与Heisenberg群和四元Heisenberg群一样，Cayley Heisenberg群上的热核的具体表达式也有许多有趣的应用问题：例如求出Green函数的公式、证明Riesz变换的一致有界性、研究Cayley Heisenberg群上的热传导方程的Dirichlet问题的边界点的正则性以及描述次Laplace算子的Martin边界等等。我们利用Cayley Heisenberg群的热核的具体表达式导出了Cayley Heisenberg群上的Green公式；对Cayley Heisenberg群上的某些函数进行估计，由此证明了Cayley Heisenberg群上的Riesz变换的一致有界性。因为Cayley Heisenberg群中心的维数高达7维(Heisenberg群和四元Heisenberg群中心的维数分别为1维和3维)，相关问题的证明极为复杂和困难。 到目前为止，Cayley Heisenberg群上的热核的许多应用问题的研究极为困难、悬而未决。例如，相关函数的奇点的阶数高，积分的维数高，对热核以及Δ-μ-调和函数的渐近估计用现有的方法难以实现；Martin边界问题的研究则更为困难、尚待解决。全文共四章，内容如下: 第一章介绍了本文工作的背景，概括了全文的研究意义、内容以及需要进一步酬究和讨沦的问题。 第二章运用四元Heisenberg群的热核的具体公式研究相关的儿何和分析问题。应用文献【40}给出的热核公式导出了四元Heisenberg群L的Green函数的一般公式;对热核以及△一户一调和函数进行渐近估计，利用这些渐近估计构造了四元Heisenberg群土几的Martin紧化，证明了四元Heisenberg群的Martin边界同胚一于四元可除代数H中的单位球，最小Martin边界同)JJ:于单位球面驴。 第二章我们运用Gaveau的随机积分方法求出了Cayley Heisenberg群的热核的具体农达式，公式形式与Heisenberg群和四元Heisenberg群的热核公式形式一致。山一」丫卜知阵运算中借助了计算机Matleb软件的符号运算，木文对所得结论的正确性进行了验证，而验证则不依赖于计算机。 第四章我们给出Cayley Heisenberg群热核的具体公式的某些应用。用第三章给出的Cayley Heisenberg群仁的热核公式求出了c月不卜的Green函数的公式;山于CayleyHeisenberg群的结构复杂，通过一系列引理，对相关函数进行估计，证明了CaylcyHeisenberg群上的Riesz变换的一致有界性。